7 divise-t-il n + 13 ? - Corrigé

Énoncé

Déterminer les entiers relatifs  \(n\) tels que  \(7\) divise \(n+13\) .

Solution

Soit \(n \in \mathbb{N}\) tel que  \(7\) divise \(n+13\) . Il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(n+13=7k\) et donc \(n=7k-13\) .
Réciproquement, si \(n=7k-13\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) , alors \(n+13=7k-13+13=7k\) est divisible par \(7\) .
Ainsi, l'ensemble des entiers relatifs  \(n\) tels que  \(7\) divise  \(n+13\) est \(\left\lbrace 7k-13 \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .
Pour être plus exhaustif, cet ensemble est \(\left\lbrace ... \ ; -20 \ ; -13 \ ; -6 \ ; 1 \ ; 8 \ ; 15 \ ; 22 \ ; ... \right\rbrace\) .